Do Projektu iAutomatyka dołączyli:

Kurs regulacji PID: Kryterium Stabilności Hurwitza – cz. 23/34

3297 wyświetleń, autor: MAREK GONET.

Artykuł z serii: Kurs regulacji PID - Wirtualne Laboratorium


Rozdz. 23.1 Wstęp
Poznany wcześniej Nyquist był przykładem kryterium stabilności typu częstotliwościowego. Nie trzeba chyba tłumaczyć dlaczego. Drugie podejście to analiza transmitancji G(s). Problem wiąże się się z badaniem równania M(s)=0, gdzie wielomian M(s) jest mianownikiem transmitancji G(s).

Rys. 23-1
G(s) jako ułamek.
Wniosek
Automatyk powinien dobrze znać się na równaniach typu M(s)=0. Gdy M(s) jest np. wielomianem 5 stopnia to równaniem M(s)=0 może być np.

Rys. 23-2
Przykład równania 5 stopnia

Rozdz. 23.2 Równania kwadratowe i wyższych stopni oraz liczby zespolone
Dobrze znamy równania 2 stopnia, czyli kwadratowe, że już nie wspomnę o równaniach  1 stopnia. Są też wzory wzory na pierwiastki równań 3 stopnia , może nawet 4. Powyżej, któregoś tam nie ma już takich wzorów. Albo są, tylko czekają na swojego Kolumba. Przy okazji, może ktoś zna dokładny stopień równania, dla którego nie ma już wzoru? Będę wdzięczny za odpowiedź. W każdym bądź razie równania wyższych stopni można rozwiązać tylko metodą numeryczną-czyli przybliżoną. Przypomnę dobrze znany wzór na równanie kwadratowe.

Rys. 23-3

Rys. 23-4
Tu delta jest nieujemna i dlatego równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste x1=3 i x2=2. Znając pierwiastki równania kwadratowego, możemy napisać też postać iloczynową dwumianu. Jest ona wygodna, bo widać w niej pierwiastki. Rozwiążmy jeszcze jedno równanie.

Rys. 23-5
Kurza twarz. Delta ujemna. W szkole średniej powiedzielibyśmy „równanie nie ma rozwiązań”. Jeżeli jednak założymy, że istnieje taka dziwna liczba j, że jej kwadrat to -1, ( albo równa jest pierwiastkowi z -1), to jednak istnieją 2 pierwiastki:x1=-2+1*j i x2=-2-1*j. W ten sposób weszliśmy w dziedzinę liczb zespolonych.
Skąd taka nazwa? Stąd, że tworzą zespół dwóch liczb. Pierwsza to część rzeczywista, druga to część urojona. Już od pierwszej klasy szkoły podstawowej posługujesz się liczbami zespolonymi. Nie wiedziałeś tylko, że korzystasz wyłącznie z części rzeczywistej tej liczby. Część urojona była zawsze zerowa. Dlatego kupując 3 kg lub (3,0) kg ziemniaków zawsze dostaniesz to samo. Za drugim razem traktowałeś (3,0) kg lub inaczej (3+j*0)kg, jako liczbę zespoloną.
Uwaga na marginesie.
Dla matematyków liczba urojona to i. Liczby zespolone pokochali od pierwszego wejrzenia elektrycy, zwłaszcza gdy pojawił się prąd zmienny czyli sinusoidy poprzesuwane w fazie. Z poprzedniego rozdziału wiesz, że te sinusoidy pięknie przedstawia się jako wektory. Wtedy np. sumę 2 sinusoid łatwo przedstawia się jako sumę wektorową. Mało tego różniczkowanie lub całkowanie sinusoid to po prostu przesuwanie ich o kąt +90° lub o -90°. Dla wektorów to banał. A wektor to prawie liczba zespolona!
Powracając do matematyków i elektryków to ci ostatni używają symbolu j zamiast i. Uzasadnienie jest proste. Symbol i za bardzo gryzłby się z symbolem prądu.

Rys. 23-6
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.
Tak jak liczby rzeczywiste to są punkty leżące na osi x, tak liczby zespolone leżą na płaszczyźnie liczb zespolonych. Część rzeczywista to współrzędna x tego punktu, a cześć urojona to współrzędna y. Przykładem są liczby zespolone  z Rys. 23-6b  (-2 + 1*j) oraz (-2 -1*j) które są rozwiązaniem równania kwadratowego.

Iloczynowa postać wielomianu

Rys. 23-7
Jak rozkładać na iloczyn wielomian 4 stopnia?
Wystarczy tylko znać jego 4 pierwiastki-> x1, x2, x3 i x4. Mogą to być liczby rzeczywiste lub zespolone. Metody dla wyższych stopni 5…n są analogiczne. Nie ma ogólnych wzorów na pierwiastki, gdy M(s) jest wysokiego stopnia. Stosuje się wtedy mające ograniczoną dokładność metody numeryczne.

Rozdz. 23.3 Pierwiastki mianownika M(s) transmitancji G(s) tylko rzeczywiste – Jaka jest stabilność?
Okaże się, że o stabilności decyduje mianownik transmitancji G(s).
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/01_stabilny.zcos

Rys. 23-8
Badamy transmitancję G(s), której mianownik jest w postaci wielomianu 2 stopnia M(s). Na górze jest ta sama transmitancja, ale mianownik jest w postaci iloczynu. Możesz sprawdzić. A dlaczego w postaci iloczynu? Bo widać w nim pierwiastki s1=-3 i s2=-1 równania kwadratowego M(s)=0.
Obydwaujemne. No i co z tego? Dowiesz się za chwilę.

Wciśnij „start”

Rys. 23-9
Impuls Diraca wyprowadził układ ze stanu równowagi, ale po ok. 3 sek. wrócił on z powrotem do tego stanu . W dodatku bez żadnych przeregulowań. Tzn. przebieg y(t) cały czas był dodatni. Teraz najważniejszy wniosek:

G(s) jest stabilny, gdy wszystkie pierwiastki równania M(s)=0 są ujemne.

Nawet tylko jeden dodatni pierwiastek to niestabilność! Można to uogólnić na M(s) dowolnego n-tego stopnia.
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/02_niestabilny.zcos

Rys. 23-10
Z postaci iloczynowej wielomianu (na górze) wynika, że jeden z pierwiastków s2=+0.075 jest dodatni
Wciśnij „start”

Rys. 23-11
Tak jak się spodziewaliśmy, układ jest niestabilny. Wyjście y(t) dąży do + ∞. Spowodował to właśnie dodatni pierwiastek s2=+0.075.
Zbadaliśmy 2 transmitancje G(s) (Rys. 23-8 i 23-10), których mianownik M(s) miał pierwiastki rzeczywiste. Albo inaczej, delta mianownika nie była ujemna. A gdy delta jest ujemna, czyli gdy pierwiastki są liczbami zespolonymi?

Rozdz. 23.4 Pierwiastki mianownika M(s) transmitancji G(s) także zespolone – Jaka jest stabilność?
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/03_stabilny_oscylacyjny.zcos

Rys. 23-12
Delta ujemna–> pojawią się pierwiastki zespolone równania M(s)=0. Obliczysz je korzystając z przykładu 2 na Rys. 23-5.
Części rzeczywiste tych pierwiastków to -1, czyli są ujemne. Podejrzewam, że układ jest stabilny. Sprawdźmy to, uderzając G(s) młotkiem diraca.
Wciśnij „start”

Rys. 23-13
Po kilku sekundach od impulsu diraca , układ wrócił do stanu równowagi. Jednak w odróżnieniu od Rys. 23-9 powrót ten nastąpił z oscylacjami. Bardziej uczenie – zadyndało. Teraz możemy zmodyfikować poznane wcześniej (Rys. 23-9) twierdzenie o stabilności.

Transmitancja G(s) jest stabilna, gdy wszystkie części rzeczywiste pierwiastków równania M(s)=0 są ujemne

Wyrażenie „części rzeczywiste” dotyczy pierwiastków, które są zespolone i mają niezerową część urojoną. Dlatego powyższe twierdzenie jest uogólnieniem poprzedniego twierdzenia. Wielomiany M(s) są oczywiście dowolnego stopnia.
Można jeszcze dodać czym różni się stabilność z Rys. 23-8 od stabilności z Rys. 23-12:
– Rys. 23-9 – Powrót do stanu równowagi bez oscylacji. Wtedy pierwiastki są liczbami rzeczywistymi albo inaczej – pierwiastki traktowane jako liczby zespolone mają zerową część urojoną.
– Rys. 23-13 – Powrót z oscylacjami. Wtedy pierwiastki są „stuprocentowymi” liczbami zespolonymi.
A gdy części rzeczywiste pierwiastków zespolonych dodatnie? Chyba się domyślasz.
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/04_niestabilny_oscylacyjny.zcos

Rys. 23-14
Części rzeczywiste tych pierwiastków z M(s)=0 to +0.05. Są dodatnie.
Wciśnij „start”

Rys. 23-15
Tak jak przypuszczaliśmy układ jest niestabilny. Amplituda drgań narasta do nieskończoności. Powodem była para pierwiastków zespolonych z dodatnimi częściami rzeczywistymi.

Rozdz. 23.5 Kryterium Hurwitza – Nie musisz znać wartości pierwiastków M(s) aby ocenić stabilność!
Transmitancja G(s) układu otwartego (bez ujemnego sprzężenia zwrotnego) jest często w postaci iloczynowej tzn. znamy jej pierwiastki. Jest też stabilna. Objęcie transmitancji G(s) pętlą ujemnego sprzężenia spowoduje zmianę jej wartości na Gz(s).
Jak widać na poniższym rysunku, mianownik M(s) nie jest już w postaci iloczynowej. Dla M(s) drugiego stopnia nie stanowi to problemu, ale dla wyższych stopni nie jest już tak miło. Wzory, jeżeli w ogóle istnieją nie są już tak proste, jak dla równania kwadratowego.

Rys. 23-16
-a W układzie otwartym mianownik M(s)=(s+1)*(s+2) jest w postaci iloczynowej. Widoczne są pierwiastki s1=-1, s2=-2. Łatwo ocenić, że układ otwarty jest stabilny
-b transmitancja układu zamkniętego Gz(s) – wynik pośredni
-c transmitancja układu zamkniętego Gz(s) – wynik ostateczny. Tu M(s) jest w postaci wielomianu. Nie „widać” pierwiastków.
Nie muszę dodawać, że chcąc zbadać stabilność układu zamkniętego musisz zbadać mianownik układu zamkniętego c. Czyli nie jest tak jak w Nyquiście, w którym badasz układ otwarty. Jeszcze raz przypomnę twierdzenie o stabilności.

Transmitancja G(s) jest stabilna, gdy wszystkie części rzeczywiste pierwiastków równania M(s)=0 są ujemne.

Inaczej
Pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie liczb zespolonych, tak  jak np.  na  Rys. 22-6b. Czyli nie musisz znać dokładnych wartości pierwiastków. Wystarczy tylko wiedza, czy ich części rzeczywiste są ujemne. Tym właśnie zajmuje się twierdzenie Hurwitza

Rys. 23-17
Tak wygląda twierdzenie Hurwitza dla wielomianu 5 stopnia. Analogicznie działa mechanizm dla wielomianu stopnia 6,7,…n.
Radzę stosować takie podejście dla wszystkich wzorów, „które dla dowolnego n„, są po prostu mało przejrzyste. Osobiście sprawdzam je dla konkretnego n, tak jak wyżej dla n=5. Wtedy wszystko „lepiej widać”.
Jeżeli Szanowny Czytelniku jesteś uczniem szkoły średniej, to masz prawo mieć problem z wyznacznikami W1, W2, W3 i W4 .
Podejdź do tego jeża następująco:
– Każda tablica (inaczej macierz) stopnia n ma przyporządkowaną konkretną liczbę zwaną wyznacznikiem stopnia n czyli Wn
– Wyznaczniki W1 i W2 obliczamy jak na w/w rysunku.
Co do następnych wyznaczników tj. W3, W4,…Wn to małpia robota. Podaje je każdy podręcznik rachunku macierzowego.

Rozdz. 23.6 Sprawdzenie stabilności transmitancji „stabilnej” przy pomocy Kryterium Hurwitza


Rys. 23-18
Na a mamy transmitancję G(s) objętą ujemnym sprzężeniem zwrotnym
Na b mamy transmitancję Gz(s) uwzględniającą ujemne sprzężenie zwrotne – bezpośrednio po zastosowaniu wzoru
Na c mamy transmitancję po ostatecznych przekształceniach.
Jak sprawdzić stabilność Gz(s) przy pomocy kryterium Hurwitza?
Pamiętamy, że pana Hurwitza interesuje tylko mianownik transmitancji Gz(s) a licznik olewa.

Rys. 23-19
Dobrze, że nie musisz liczyć wyznacznika W3 w 2 warunku, trochę mniej roboty.
Obydwa 
warunki Hurwitza są spełnione –>części rzeczywiste pierwiastków z mianownika transmitancji z Rys. 23-18c są ujemne–> transmitancja jest stabilna.  A może sprawdzimy?
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/05_Hurwitz_stabilny.zcos.

Rys. 23-20
Jest to dokładnie Gz(s) z Rys. 23-18c. Zbadamy stabilność lekko stukając młotkiem diraca. Czy wróci do stanu ustalonego tzn do y(t)=0, tak jak obiecał Hurwitz?
Wciśnij „start”

Rys. 23-21
Zadyndało i system wrócił do stanu stabilnego w którym y(t)=0. Jeszcze jedno. Hurwitz nic nie mówi czy pierwiastki równania M(s)=0rzeczywiste lub zespolone. Ściślej, czy mają części urojone. Z oscylacji wynika, że niektóre mają. Nie mówi także, jak bardzo układ jest stabilny. Jak daleko mu do niestabilności.

Rozdz. 23.7 Sprawdzenie stabilności transmitancji „niestabilnej” przy pomocy Kryterium Hurwitza


Rys. 23-22

Rys. 23-23
2 warunek Hurwitza nie jest spełniony, czyli układ jest niestabilny. Sprawdźmy to.
Wywołaj PID/09_kryterium_Hurwitza/06_Hurwitz_niestabilny.zcos

Rys. 23-24
Jest to dokładnie Gz(s) z Rys. 16-21c. Spróbujmy wytrącić układ z równowagi młotkiem diraca?
Wciśnij „start”

Rys. 23-25
Rozhuśtało się, rozhuśtało. Hurwitz miał rację.


Więcej z serii: Kurs regulacji PID - Wirtualne Laboratorium

Newsletter

Zapisz się i jako pierwszy otrzymuj nowości!

Zapoznałem się i akceptuję klauzulę informacyjną.
1 stycznia 2015 / Kategoria:
  • Autor: MAREK GONET
  • Wydział Elektryczny - specjalność Automatyka Przemysłowa skończyłem na Politechnice Warszawskiej w latach 1966...72.  Potem zajmowałem się projektowaniem automatyki i różnymi rzeczami. Finał kariery zawodowej to sygnalizacja pożaru, sieci strukturalne i inne wynalazki... Nie to jednak tygrysy lubią najbardziej. W 2008 roku trafiła mi się wreszcie dobra fucha - emerytura. Mam teraz dużo wolnego czasu i stąd ten kurs. Nie ma w nim dużo teorii, za to wszystko staram się wytłumaczyć tak, jak to czuję. Często przeginam w uproszczeniach np. "Automatyka to głównie dochodzenie sygnału wyjściowego y(t) do wartości zadanej x(t) i tłumienie zakłóceń z(t)" Z drugiej strony jestem pewien, że kilkaset doświadczeń z układami regulacji automatycznej na pewno nie zaszkodzi! Może nawet poczujesz radochę strojąc regulator PID. Emocje nie są oczywiście takie same jak na prawdziwym obiekcie. Gdy zawory stukają, siłowniki syczą i alarmy wyją. W dodatku z nieznanych powodów tryska kwasem siarkowym prosto na personel. W naszym laboratorium nie podlegamy już takim emocjom. Za to jest bezpiecznie i kierunek właściwy. Zachęcam do stawiania pytań. Nie wiem czy na wszystkie odpowiem. Tu liczę na pomoc. Zwłaszcza Tych którym zawory stukają, siłowniki syczą i  alarmy wyją...
  • Profil Autora

Reklama

NAJNOWSZE PUBLIKACJE OD UŻYTKOWNIKÓW I FIRM

>KLIKNIJ<

Łatwo i niedrogo – integrujemy system wizyjny

Łatwo i niedrogo – integrujemy system wizyjny

>KLIKNIJ<

Zdalne programowanie sterowników Beckhoff z użyciem chmury

Zdalne programowanie sterowników Beckhoff z użyciem chmury

>KLIKNIJ<

Małe, wielozadaniowe: wyświetlacze temperatury i wartości procesowych firmy akYtec

Małe, wielozadaniowe: wyświetlacze temperatury i wartości procesowych firmy akYtec

>KLIKNIJ<

Wykorzystaj Automaticon, żeby poszerzyć swoją wiedzę! Bezpłatne seminaria 18 marca

Wykorzystaj Automaticon, żeby poszerzyć swoją wiedzę! Bezpłatne seminaria 18 marca

>KLIKNIJ<

Co musisz wiedzieć o wykorzystaniu laserów w przemyśle? Wywiad z Panasonic Industry

Co musisz wiedzieć o wykorzystaniu laserów w przemyśle? Wywiad z Panasonic Industry

>KLIKNIJ<

Programowanie PLC od podstaw – kurs dla automatyków i elektryków odc. 5 – Jak odmierzać czas w programie sterującym i jak konfigurować timery?

Programowanie PLC od podstaw – kurs dla automatyków i elektryków odc. 5 – Jak odmierzać czas w programie sterującym i jak konfigurować timery?

>KLIKNIJ<

Mini-PLC w technologii chłodzenia

Mini-PLC w technologii chłodzenia

>KLIKNIJ<

Automatyczny Podcast #19: Silnik elektryczny

Automatyczny Podcast #19: Silnik elektryczny

>KLIKNIJ<

Odwiedź nas na targach Food Tech Expo w Nadarzynie | 3-5 marca 2020

Odwiedź nas na targach Food Tech Expo w Nadarzynie | 3-5 marca 2020

>KLIKNIJ<

„System nerwowy” Przemysłowego Internetu Rzeczy

„System nerwowy” Przemysłowego Internetu Rzeczy

>KLIKNIJ<

Systemy diagnostyki drgań silników i napędów

Systemy diagnostyki drgań silników i napędów

>KLIKNIJ<

Przekaźnik czasowy – działanie, budowa i zastosowanie

Przekaźnik czasowy – działanie, budowa i zastosowanie

>KLIKNIJ<

Wyjątkowa promocja EMT-Systems – szkolenia z TIA za 1500 zł!

Wyjątkowa promocja EMT-Systems – szkolenia z TIA za 1500 zł!

>KLIKNIJ<

Studentom ZUT kontrola temperatury już niestraszna

Studentom ZUT kontrola temperatury już niestraszna

>KLIKNIJ<

Programowanie PLC od podstaw – kurs dla automatyków i elektryków odc.4 – Jak korzystać ze styków, cewek i bloków operacji arytmetycznych w programie sterującym?

Programowanie PLC od podstaw – kurs dla automatyków i elektryków odc.4 – Jak korzystać ze styków, cewek i bloków operacji arytmetycznych w programie sterującym?

>KLIKNIJ<

Komunikacja Sinamic G120 ze sterownikiem PLC w TIA Portal

Komunikacja Sinamic G120 ze sterownikiem PLC w TIA Portal

>KLIKNIJ<

Rejestracja, SCL, VBA – pomiary sygnałów szybkozmiennych w aplikacjach odlewniczych

Rejestracja, SCL, VBA – pomiary sygnałów szybkozmiennych w aplikacjach odlewniczych

>KLIKNIJ<

Promocyjne ceny na zestawy do transmisji danych w przemyśle – LAPP

Promocyjne ceny na zestawy do transmisji danych w przemyśle – LAPP

>KLIKNIJ<

[WEBINAR] Tips&Tricks w RT Toolbox 3 – programuj roboty Mistubishi Electric szybciej

[WEBINAR] Tips&Tricks w RT Toolbox 3 – programuj roboty Mistubishi Electric szybciej

>KLIKNIJ<

LabVIEW – środowisko do programowania sterowników i szybkiego przetwarzania danych

LabVIEW – środowisko do programowania sterowników i szybkiego przetwarzania danych





MOŻESZ SIĘ TYM ZAINTERESOWAĆ

  • Wyświetlacz słupkowy ITP15 jest kompaktowym wskaźnikiem procesowym, który wizualizuje analogowy sygnał wejściowy w zakresie od 0 do 100% z 10 słupkami po 10%. Sygnałem wejściowym może być liniowy sygnał napięciowy 0 (2) -10 V lub sygnał prą...
  • Sterowniki  z serii SIMATIC S7-1200 oferują szeroki zakres funkcjonalności i zintegrowane wejścia/wyjścia zamknięte w kompaktowej obudowie. Są doskonałym narzędziem do realizacji standardowych projektów i zadań automatyki, a jednostki S7-12...
  • EPLAN Electric P8 oferuje nieograniczone możliwości planowania projektu, tworzenia dokumentacji oraz zarządzania projektami automatyki. Zautomatyzowane tworzenie szczegółowych raportów opartych na schematach okablowania jest integralnym ele...
  • Technologia SmartBridge® od Pepperl+Fuchs stanowi łącznik między czujnikami, a Przemysłem 4.0: Dotychczas dane procesu generowane przez urządzenia będące częścią infrastruktury IO-Link były przetwarzane głównie w obiegu urządzenia. Wartości...
  • PR200 to uniwersalne i łatwe w obsłudze urządzenie zaprojektowane w plastikowej obudowie do montażu na szynie DIN jako alternatywa dla PLC. Przekaźnik jest dostępny w kilku wersjach dla napięcia stałego i przemiennego. Jest wyposażony w cyf...
  • Wysokowydajny sterownik Saia PCD3.M6893 oferuje maksymalne cyberbezpieczeństwo oraz możliwość programowania obiektowego w języku wysokiego poziomu. Ponadto jest kompatybilny z modułami I/O i komunikacyjnymi serii PCD3. Zastosowany w PCD3.M6...