Rozdz.9.1 Wstęp
9-1
Rys. 9-1
Transmitancja członu różniczkującego, ściślej – idealnego różniczkującego
Człon różniczkujący reaguje na prędkość zmiany sygnału x(t), a nie na jego wartość. Jest najlepszą pomocą dydaktyczną do zrozumienia pojęcia pochodnej funkcji, ogólnie rachunku różniczkowego.
Przeważnie w transmitancjach G(s) literka s występuje w mianowniku ułamka, natomiast w członie różniczkującym jest zwykłą liczbą.
Przy sterowaniu ręcznym z suwaka przebiegi wyjściowe czlonu różniczkującego są po prostu wredne, jakieś szpile itd… Utrudnia to wyciągnięcie właściwych wniosków. Dlatego przy badaniu tego członu nie będzie schematów z suwakiem i bargrafem.
Człon różniczkujący daje na wyjściu sygnał y(t) proporcjonalny do prędkości zmian sygnału wejściowego x(t), czyli do jego pochodnej.
Dlatego w każdym doświadczeniu upewnij się że tak jest tzn:
Gdy x(t) szybko rośnie–>y(t) jest duże dodatnie
Gdy x(t) jest stałe –> y(t)=0 bo prędkość zerowa
Gdy x(t) szybko maleje–>y(t) jest duże ujemne (prędkość ujemna)

Rozdz.9.2 Sygnał x(t) rośnie liniowo
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/01-różniczkujący_oscyloskop_1narastanie.zcos

9-2
Rys. 9-2
Nie pytaj się co robi blok Dummy Clls. Tak ma być, żeby było dobrze. Poza tym nie uda się realizacja idealnego różniczkującego poprzez modyfikację transmitancji uniwersalnej. Wynika to z pewnych ograniczeń samego Scilaba. Nie jest on jednak taki zły do końca, skoro umożliwia uzyskanie członu różniczkującego o transmitancji G(s)=Td*s poprzez dostępny blok idealnie różniczkujący du/dt i proporcjonalny k.
Na Rys. 9-2 k=Td=1 sek. Można ustawiać dowolną wartość Td poprzez kliknięcie prawą myszą bloku wzmocnienia k. Parametrem Td ustawiamy więc intensywność różniczkowania.
Wciśnij „Start”

Rys. 9-3
Kurczę, rysunek jest w pierwszej chwili taki sam jak Rys. 8-7 dla członu całkującego. Ale tam na wejściu był skok a na wyjściu piła, a tu jest odwrotnie! Dlatego mówi się że różniczkowanie jest odwrotnością całkowania i vice versa.
Najważniejsze
Dla członu różniczkującego o transmitancji G(s)=s sygnał wyjściowy jest równy prędkości zmian sygnału wejściowego.
Na Rys. 9-3 prędkość zmian wynosi 1/sekundę i jest stała. Dlatego odpowiedzią na ten sygnał jest stała wartość 1.
Prędkość zmian dowolnej funkcji to pochodna tej funkcji. Tu pochodną liczyło się łatwo, bo prędkość zmian była stała.
Pochodną z x(t) jest y(t). Do trzeciej sekundy y(t)=dx/dt=0 bo x(t)=0 i się nie zmienia, a od 3 sekundy dx/dt=1.
Definicja czasu różniczkowania Td
Po czasie Td sygnał członu różniczkującego y(t) zrówna się z narastającym sygnałem wejściowym wejściowym x(t).
Na rysunku zrównanie nastąpiło po czasie Td=1 sek. Zauważ, że definicja nie zależy od prędkości narastania x(t). Gdy prędkość się zwiększy, to zrównanie też wystąpi po Td=1sec ale przy wyższym poziomie y(t)!
Powtórzmy doświadczenie, ale z 2-krotnie większą prędkością narastania sygnału liniowego.
Prawą myszą na „pile” ustaw slope=2 (slope to nachylenie)
9-4
Rys. 9-4
Wciśnij „Start”

Rys. 9-5
2-krotne zwiększenie prędkości narastania x(t) spowodowało 2-krotne zwiększenie y(t)

Rozdz.9.3 Sygnał x(t) „rośnie, stoi i opada”
Zjawisko znane nie tylko w automatyce.
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/02-różniczkujący_oscyloskop_narast_staly_opad.zcos
9-6
Rys. 9-6
Wciśnij „Start”
9-7
Rys. 9-7
0…2 sek stałe x(t)=0 dlatego też y(t)=0 (bo „prędkość” x(t) zerowa)
2…4 sek sygnał x(t) rośnie ze stałą (dodatnią) prędkością=1/sek (pochodną!)–> y(t)=+1
4…6 sek sygnał x(t)=1 jest stały czyli ma prędkość=0 –>y(t)=0
6…10 sek sygnał x(t) maleje ze stałą (ujemną) prędkością=-1/sek –> y(t)=-1

Rozdz.9.4 Sygnał x(t) z dwoma stałymi prędkościami
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/03-różniczkujący_oscyloskop_2narastania.zcos
9-8
Rys. 9-8
Wciśnij „Start”

Rys. 9-9
Dwukrotne zwiększenie prędkości (pochodnej) sygnału wejściowego x(t) spowodował dwukrotny wzrost sygnału wyjściowego y(t).

Rozdz.9.5 Sygnał x(t) z czterema stałymi prędkościami
Za każdym razem prędkość, czyli pochodna sygnału wejściowego x(t) będzie wzrastała o ten sam przyrost prędkości Δx(t)=1/sek
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/04-różniczkujący_oscyloskop_4narastania.zcos
9-10
Rys. 9-10
Wciśnij „Start”
9-11
Rys. 9-11
Czterokrotne zwiększenie prędkości (pochodnej) sygnału wejściowego x(t) spowodowało czterokrotny wzrost sygnału wyjściowego y(t).
Sygnał x(t) staje się podobny do paraboli (funkcji kwadratowej) a y(t) do liniowej. Oczywiście z grubsza. A gdyby tak na wejście podać x(t) jako parabolę? Domyślasz się co będzie?

Rozdz.9.6 Sygnał x(t) jest funkcją kwadratowa
Rys. 9-9 to dwuodcinkowe prymitywne przybliżenie paraboli.
Rys. 9-11 to czteroodcinkowe już trochę dokładniejsze przybliżenie paraboli.
A gdyby tych odcinków było 8, 16,…..1024 … nieskończenie dużo to czy otrzymamy idealną parabolę? Sprawdźmy.
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/05-różniczkujący_oscyloskop_kwadrat.zcos
9-12
Rys. 9-12
Blok Kwadrator zamienia sygnał narastający liniowo na x(t) narastający wg. funkcji kwadratowej.
Wciśnij „Start”
9-13
Rys. 9-13
Nachylenie, czyli prędkość , czyli pochodna sygnału wejściowego x(t) stopniowo rośnie. Człon różniczkujący-jak sama nazwa wskazuje, różniczkuje ten sygnał. Czyli daje nam na wyjściu sygnał y(t), który jest pochodną x(t). Czyli y(t)=x'(t).
Człon różniczkujący potwierdza znany od 17 wieku, wzór na pochodną funkcji kwadratowej.

Rozdz.9.7 x(t) jest sinusoidą sin(t)
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/06-różniczkujący_oscyloskop_sinusoida.zcos
9-14
Rys. 9-14
Wciśnij „Start”
9-15
Rys. 9-15
x(t)=sin(t) y(t)=cos(t) Sprawdź to podstawiając np. t=0, t=Π/2, t=Π i t=2Π
Sygnał sinusoidalny x(t)=sin(t) został zróżniczkowany przez G(s) dając na wyjściu cosinusoidę. A ona jak wiemy z analizy matematycznej jest pochodną sinusoidy –>sin'(t)=cos(t). Traktuj pochodną jako prędkość funkcji.
Jako ćwiczenie przeanalizuj czerwone y(t)=cos(t) jako pochodną czarnego x(t)=sin(t)
-Gdy x(t) najszybciej rośnie tam y(t) ma maksimum.
-Gdy x(t) najszybciej spada tam y(t) ma minimum.

Rozdz. 9.8 x(t) jest pojedynczym impulsem prostokątnym
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/04_człon_różniczkujący/07-rozniczkujacy_oscyloskop_1_impuls.zcos
9-16
Rys. 9-16
Wciśnij „Start”
9-17
Rys. 9-17
W 3 sekundzie sygnał wejściowy x(t) rośnie skokowo. Czyli jego prędkość narastania ma wartość +nieskończoność. Stąd ta czerwona szpilka y(t) to dirac do +nieskończoności.
W 6 sekundzie sygnał maleje do zera skokowo, prędkość ujemna –>czerwona szpilka y(t) to dirac do -nieskończoności.
W pozostałym czasie (czyli wszędzie oprócz 3 i 6 sekundy ) x(t) jest stałe. Czyli x(t) ma prędkość zerową. Czyli w tym czasie y(t) też jest zerowe.

Rozdz. 9.9 Podsumowanie
Człon Różniczkujący reaguje na prędkość zmian sygnału wejściowego x(t), czyli na jego pochodną x'(t).

9-18
Rys. 9-18
Przykładem jest cewka o indukcyjności L, gdy wejściem x(t) jest prąd i(t) a wyjściem y(t) napięcie na cewce u(t).
Typowym sygnałem wejściowym x(t) do badania większości członów dynamicznych jest skok jednostkowy. Dla członu różniczkującego jest nim jednak sygnał narastający liniowo. Łatwo wtedy z niego otrzymać parametr Td z Rys. 9-1.
Dla skoku jednostkowego –>Rys. 9-17 byłoby to, oględnie mówiąc trudniejsze.

  • Emil

    Hej,
    W Rozdz.9.4 na rysunku 9-9 x'(t) zamiast kolejno 1 i 2 nie powinien wynosić 0,5 i 1 ?
    Pozdrawiam
    Emil

    • Marek Gonet

      Masz rację! Sprawdzę jeszcze raz resztę tego rozdziału.