Rozdz.22.1 Wstęp
Już dobrze wiesz co to jest układ stabilny i niestabilny. Mało tego-równowaga, albo inaczej „brak ruchu” niekoniecznie musi się kojarzyć ze stabilnością. Badałeś już przecież układy, które przy sygnale wejściowym x(t)=0 dawały y(t)=0. Dopiero „prztyczek – Dirac” inicjował proces oscylacji których amplituda narastała od 0 do nieskończoności.
Automatyk powinien przewidzieć czy układ otwarty, po zamknięciu pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego będzie stabilny. Układ otwarty jest po pierwsze prostszy od zamkniętego, a po drugie na 99,999…% jest stabilny*. Mam na myśli układ otwarty, że tak powiem ” z natury”, a nie taki który po zastosowaniu wzoru na Gz(s) staje się „otwarty” tak jak poniżej.
22-1
Rys. 22-1
Kryterium Nyquista należy do częstotliwościowych, w przeciwieństwie do algebraicznego kryterium Hurwitza z następnego rozdziału. Na wejście układu otwartego podajemy sinusoidę o powoli zwiększającej się częstotliwości od 0 do nieskończoności, a praktycznie od bardzo małej do konkretnej dużej. Sinusoida wyjściowa będzie miała oczywiście tę samą częstotliwość ale inną amplitudę (przeważnie mniejszą) i inną fazę (przeważnie opóźnioną) niż wejściowa. Wyznaczona w ten sposób amplituda i faza układu otwartego dla całego zakresu częstotliwości zawiera w sobie łatwą do odczytania informację o stabilności układu zamkniętego.
Charakterystykę częstotliwościową układu otwartego wyznacza się stosunkowo łatwo. Możesz to zrobić „na żywca” na obiekcie* bez obaw, że stracisz panowanie nad instalacją przemysłową. Jest to przecież układ otwarty, a więc stabilny. I to jest właśnie zaletą kryterium Nyquista.
Jeżeli znasz liczby zespolone to wykreślisz charakterystykę amplitudowo-fazową podstawiając s=jω w transmitancji G(s) i rysując na płaszczyźnie zespolonej kolejne wartości wyrażenia  G(jω) dla różnych wartości tzw pulsacji ω która jest pomnożoną przez 2*∏ częstotliwością f–> ω=2*∏*f.
Są też inne kryteria częstotliwościowe np. niejakiego Michajłowa.
* Tu zostawiłem sobie małą  furtkę–>0.001%. Może są takowe?

Rozdz. 22.2 Wektory jako wygodny zapis sygnału sinusoidalnego
Rozdz. 22.2.1 Sygnał sinusoidalny a ruch po okręgu
Sinusoidę jako równanie np. y(t)=Ym*sin(ωt-φ) łatwiej się analizuje szukając analogii do ruchu punktu po okręgu. Wtedy wyraźnie widać amplitudę Ym,która jest promieniem okręgu i fazę φ. Przedstawia to animacja z ogólnie dostępnej strony. Wrócisz z niej „strzałką” w lewym górnym rogu strony.
Zanim klikniesz ogólnie dostępną stronę ruch_harmoniczny przeczytaj uważnie opis pod Rys. 22-2

22-2
Rys. 22-2
Jest to co prawda animacja ruchu falowego, ale wykorzystamy ją do przedstawienia ruchu harmonicznego. Przy okazji. Fale traktujemy jako coś co się porusza. Tu z lewej strony do prawej zaś kulki wykonują tylko ruchy pionowe!
Każda kulka jest opóźniona w fazie względem poprzedniej o 36°. Interesują nas 3 kulki A, B i C i tylko na nich skup swoją uwagę.
W animacji ruch po okręgu wykonuje tylko jedna kulka A. Dodajmy w wyobraźni jeszcze kulkę B „opóźnioną” o -36° i C z kątem -180°.
Okres 1 obrotu T=2.2 sek który odpowiada częstotliwości f=0.45 sek. W automatyce używa się raczej pulsacji ω niż częstotliwości f.
W naszym przypadku f=0.45 sek to pulsacja ω=2.86 1/sek czyli ω=2.86 radianów/sek.
A teraz najważniejsze. Jaka jest relacja pomiędzy y(t)=Ym*sin(ωt-φ) a ruchem kulek A, B i C po okręgu o promieniu Ym?
Odpowiedź jest prosta. Jest to rzut obracającej się kulki na oś y. I tak:
Ruch Ym=sin(ωt).          φ=0°      Rzut na oś y kulki A
Ruch Ym=sin(ωt-36°)    φ=-36°   Rzut na oś y kulki B. φ=-36° jest opóźnieniem kulki B względem A
Ruch Ym=sin(ωt-180°)  φ=-180° Rzut na oś y kulki C. φ=-180° jest opóźnieniem kulki C względem A. Kulki A i C są w przeciwfazie.

Rozdz. 22.2.2 Sygnały sinusoidalne o równych amplitudach jako wektory
Kulka A z poprzedniego punktu wykonywała ruch opisany równaniem y(t)=Ym*sin(ωt), pozostałe 2 kulki ” z wyobraźni” B i C robiły to wg. równań Ym=sin(ωt-36°) i Ym=sin(ωt-180°).
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/01_3_sinusoidy.zcos
22-3
Rys. 22-3
Generator 1 to kulka A z Rys.22-2 o okresie drgań T=2.2 sek czyli o pulsacji ω=2.86 1/sek. Amplituda drgań Ym=1
Pozostałe generatory mają tą samą pulsację ω i amplitudę Ym=1. Różnią się tylko fazą φ:
Generator 2 faza φ=-36° (kulka B)
Generator 3 faza φ=-180° (kulka C)
Wciśnij „Start”
22-4
Rys. 22-4
Analizując ruchy kulek, można dostać oczopląsu. Da się jednak zauważyć amplitudę i fazę poszczególnych kulek. Zwłaszcza bujanie się C w przeciwfazie do A. O wiele wygodniejsze jest jednak traktowanie tych sinusoid jako 3 różnych wektorów.
22-5
Rys. 22-5
Ruch harmoniczny 3 kulek jako 3 obracające się wektory A, B i C
3 wektory A, B, C o amplitudzie Ym=1 poruszają się z prędkością kątową ω. Jest ona dodatnia ,bo kierunek jest przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Każda sinusoida jest rzutem danego wektora na oś y . Doskonale są widoczne fazy poszczególnych kulek. Nie widać natomiast częstotliwości. Równie dobrze może to być 1 Hz jak i 1GHz. Dlatego gdzieś w opisie musi być podana częstotliwość f lub pulsacja ω. Sam okrąg jest potrzebny tylko ze względów dydaktycznych. Dlatego wektory przedstawia się bez okręgu.

Rozdz. 22.2.3 Sygnały sinusoidalne o różnych amplitudach jako wektory
Kulka B porusza się po okręgu 2 razy mniejszym niż kulka A. Oznacza to, że amplituda jej sinusoidy też jest 2 razy mniejsza.
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/02_3_sinusoidy.zcos
22-6
Rys. 22-6
Wciśnij „Start”
22-7
Rys. 22-7
Wyraźniej widać opóźnienie φ=-36° i amplitudę 0.5 zielonej sinusoidy na wykresie wskazowym z Rys. 22-7b niż na sinusoidach na Rys. 22-7a. Pamiętaj o tym, że dla pełnej informacji na wykresie wskazowym musi być podana pulsacja – tu ω=2.86 1/sek!

Rozdz. 22.3 Charakterystyka amplitudowo-fazowa na przykładzie członu inercyjnego
Rozdz. 22.3.1 Wstęp
Do tej pory stosowaliśmy głównie analizę czasową członów dynamicznych. Dawaliśmy jako wejście x(t) skok jednostkowy, impuls Diraca lub piłę. Wtedy odpowiedź y(t) była informacją o własnościach dynamicznych tego członu.
Zależy mi na tym, żeby czytelnik kojarzył parametry transmitancji G(s) z odpowiednimi charakterystykami czasowymi. Do tego przyda się oczywiście znajomość liczb zespolonych, ale nie jest to absolutnie konieczne. Wspomniałem tylko, że s z G(s) jest liczbą zespoloną i żeby się tym za bardzo nie przejmować.
Dlatego nie pojawiło się dotychczas jedno z najbardziej podstawowych pojęć w automatyce:

Charakterystyka Amplitudowo-Fazowa

Jest ona rozszerzeniem pojęcia-pasmo przenoszenia.  Na wejście dajemy sinusoidę której częstotliwość powoli zmienia się teoretycznie od zera do nieskończoności a praktycznie to tylko np. 30 częstotliwości od bardzo małej do dużej.
Odpowiedzią y(t) też jest sinusoida o tej samej częstotliwości, ale o innej amplitudzie i fazie.
Te wielkości tj. amplituda i faza dla różnych ω, pokazane na jednym wykresie wskazowym (np Rys. 22-7) tworzą charakterystykę amplitudowo-fazową. W odróżnieniu od pasma przenoszenia zawiera ona także informację o fazie sygnału.
W następnym punkcie wyznaczymy doświadczalnie charakterystykę amplitudowo-fazową dla członu inercyjnego o parametrach:
K=1
T=1 sek
Zaczniemy od bardzo małej pulsacji ω=0.31 1/sek (T=20 sek!) a skończymy na pulsacji ω=10.06 1/sek (T=0.63 sek). Sinusoida wejściowa x(t) ma oczywiście stałą amplitudę Xm=1.
Dla każdej pulsacji wyznaczymy amplitudę Ym i fazę φ sygnału wyjściowego w postaci wektorowej.

Rozdz. 22.3.2 Wyznaczanie charakterystyki amplitudowo-fazowej członu inercyjnego
Rozdz. 22.3.2.1 ω=0.31 1/sek (T=20 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/03_20.zcos
22-8
Rys. 22-8
Wejściem jest sinusoida x(t) o amplitudzie Xm=1 i okresie T=20 sek
22-9
Rys. 22-9
Sinusoida wyjściowa na Rys. 22-9a ma amplitudę Ym=0.95 i opóźnienie φ=-17.5°.
Dokładność tego -17.5° jest podejrzana. Jak to zmierzyłem? Linijką? Sprawa jest prosta. Odpowiednio rozciągnąłem podstawę czasu w osobnym doświadczeniu i tam już dokładnie widać ten kąt. Jak nie wierzysz to sprawdź odpowiednio manipulując oscyloskopem.
Rys.22-9b przedstawia te same sinusoidy jako wektory. Dużo lepiej jest tu widoczna faza i amplituda sinusoidy wyjściowej.
Zgadnij jak wpływa bezwładność T  na wielkość i opóźnienie φ czerwonej strzałki wyjścia?  Chyba jest oczywiste, że opóźnienie  φ się zwiększy i wielkość strzałki zmniejszy! Podobny efekt uzyskasz zwiększając pulsację ω.
Jeszcze jedno. Te parametry wyznaczamy możliwie najpóźniej (tu po ok. 50 sek) Po to by sinusoida była już „uspokojona”. Na samym początku mamy stan przejściowy, w którym sinusoida wyjściowa z „kolankiem” tak naprawdę nie jest jeszcze sinusoidą. Jak się później przekonasz, stany przejściowe są wyraźniejsze przy większych częstotliwościach.

Rozdz. 22.3.2.2 ω=0.63 1/sek (T=10 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/04_10.zcos
Otrzymasz ten sam obrazek z generatorem który ma jednak inny okres.
Wciśnij „Start”
22-10
Rys. 22-10
W pierwszej chwili wydaje się, że taka sam częstotliwość. Ale zmieniła się podstawa czasu. Tu eksperyment trwa 30 sek a nie 60 sek.
I tak już będzie w następnych doświadczeniach. Zwiększyło się opóźnienie φ i zmniejszyła amplituda Ym.

Rozdz. 22.3.2.3 ω=1.26 1/sek (T=5 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/05_5.zcos
Ten sam obrazek.
Wciśnij „Start”
22-11
Rys. 22-11
Czerwona strzałka dalej się opóźnia i zmniejsza.

Rozdz. 22.3.2.4 ω=2.51 1/sek (T=2.5 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/06_2.5.zcos
Ten sam obrazek.
Wciśnij „Start” 22-12
Rys. 22-12
Czerwona strzałka dalej się opóźnia i zmniejsza.

Rozdz. 22.3.2.5 ω=5.03 1/sek (T=1.25 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/07_1.25.zcos
Ten sam obrazek.
Wciśnij „Start”
22-13
Rys. 22-13
Czerwona strzałka dalej się opóźnia i zmniejsza. Przy większych częstotliwościach wyraźniej widać stan przejściowy sinusoidy na początku przebiegu.

Rozdz. 22.3.2.6 ω=10.06 1/sek (T=0.63 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/08_0.625.zcos
Ten sam obrazek.
Wciśnij „Start”
22-14
Rys. 22-14
Jak zwykle czerwona strzałka dalej się opóźnia i zmniejsza. Przypuszczamy, że dla bardzo dużej częstotliwości amplituda będzie dążyła do 0 a faza do -90°. Wyraźnie tu widać na początku stan przejściowy czerwonej sinusoidy wyjściowej y(t)
Na tym kończymy pierwszy etap wyznaczania charakterystyki amplitudowo-fazowej.

Rozdz. 22.3.3 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Zróbmy z kolejnych wykresów wskazowych (strzałek) jeden wspólny rysunek.
22-15
Rys. 22-15
Wspólnym rysunkiem jest Rys. 22-15a. Zielony wektor to symbol 6 sinusoidalnych sygnałów wejściowych x(t) o pulsacjach ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 i amplitudzie Xm=1.
Pozostałe 6 czerwonych wektorów, to odpowiednie odpowiedzi sinusoidalne. Tu było tylko 6 pulsacji. A gdyby było ich więcej np. sto, albo idźmy na całość-milion? Otrzymamy wtedy Rys. 22-15b w którym koniec wektora kreśli półokrąg.
Rzuć jeszcze okiem na następny rysunek.
22-16
Rys. 22-16
Końce wszystkich wektorów widoczne są jako czerwony półokrąg. Dodano osie x,y. Niby podobny, ale jak traktować czerwony wektor odpowiedzi na sygnał sinusoidalny wejściowy x(t) o pulsacji ω0=0?
Po pierwsze nie robiliśmy takiego eksperymentu, a po drugie to czym jest zerowa pulsacja lub częstotliwość?
Traktuj ją jako baaardzo małą pulsację! Np odpowiadającą okresowi T=1 rok. Cały rok siedzisz przed oscyloskopem i obserwujesz sinusoidę. Startujesz 1 stycznia z poziomu x(t)=0. Po pierwszym kwartale masz sygnał x(t)=+1 itd. Zgodzisz się z tym że y(t) też będzie powolne i z prawie zerowym przesunięciem φ. Tak małym, że możesz przyjąć φ=0. Amplituda też będzie 1.
Zauważ, że nie mamy zielonego wektora x(t). Był on tylko potrzebny ze względów dydaktycznych. Mało tego, nawet czerwone wektory są niepotrzebne. Tu zachowaliśmy tylko jednego ich przedstawiciela dla pulsacji ω=0.31 1/sek. Wystarczy sam półokrąg jako końce różnych wektorów.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest uogólnieniem pojęcia pasmo przenoszenia ( to z kolei jest uogólnieniem pojęcia wzmocnienie). Można z niej odczytać nie tylko wzmocnienie dla danej pulsacji ale także fazę.
Tu np. widać że dla ω=0.31 1/sek wzmocnienie K=0.95 i przesunięcie fazowe φ=-17.5°.
Każdy człon inercyjny ze wzmocnieniem K=1 startuje z pulsacją ω=0 z punktu (+1,0) i kończy w ω=nieskończoność w punkcie (0,0).
Dla innego wzmocnienia, np. dla K=3 początek byłby (+3,0) ale koniec taki sam–>też (0,0).
Gdyby stała czasowa T była 2 razy mniejsza, to wtedy zamiast ω=0.31 1/sek byłoby ω=0.62 1/sek.

Rozdz. 22.4 Charakterystyki amplitudowo-fazowe innych członów dynamicznych
Rozdz. 22.4.1 Wstęp
Poznaliśmy już charakterystykę najprostszego, ale nie trywialnego członu dynamicznego-członu inercyjnego. Jest ona półokręgiem. A jak jest innymi członami?

Rozdz. 22.4.2 Człon proporcjonalny
Najprostszym członem dynamicznym jest oczywiście proporcjonalny. Czyli bez żadnych bezwładności.
22-17
Rys. 22-17
Człon Proporcjonalny Ch-ka amiltudowo-fazowa
Dla tego członu o transmitancji G(s)=1 w każdej chwili jest x(t)=y(t). Czyli sinusoida wyjściowa y(t) jest równa sinusoidzie wejściowej x(t). Dlatego charakterystyka amplitudowo-fazowa jest tak prosta, że aż trudna. Sprowadza się do jednego punktu (+1,0).

Rozdz. 22.4.3 Człony statyczne
Nie mają elementów całkujących. Czyli nie mają pojedynczych s-ów w mianowniku G(s). W odpowiedzi na skok dają stan ustalony, a nie rosną do nieskończoności jak astatyczne. Może to być człon wieloinercyjny, oscylacyjny, z opóźnieniem itd… Ich charakterystyka jako bardziej złożona niż inercyjny, nie jest już półokręgiem, aczkolwiek czymś podobnym. Człon trójinercyjny daje np. taką charakterystykę
22-18
Rys. 22-18
Charakterystyka członu trójinercyjnego przechodzi przez trzy ćwiartki. Można się domyślać, że dwuinercyjny to tylko dwie ćwiartki, tak jak biedaczysko inercyjny ma tylko jedną. Dla pewnej pulsacji ω=ωkr sinusoida wyjściowa y(t) członu trójinercyjnego jest w przeciwfazie do sinusoidy wejściowej x(t) Czegoś takiego nie ma człon dwuinercyjny (bo jest tylko w 2 ćwiartkach), ani tym bardziej inercyjny.

Rozdz. 22.4.4 Człon całkujący jako przykład astatycznego
22.4.4.1 Wstęp
Rys. 22-16…18 to człony statyczne. Widać w nim początek dla ω=0 i koniec dla ω=∞. A jak jest dla członu astatycznego np. całkującego to za chwilę sam się przekonasz. Będziemy badać człon całkujący podobnie jak w p. 22.3 człon inercyjny.

Rozdz. 22.4.4.2 ω=0.31 1/sek (T=20 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/09_calkujacy_20.zcos
22-19
Rys. 22-19
Wciśnij „Start”
22-20
Rys. 22-20
Nie przejmuj się tym, że do sinusoidy wyjściowej y(t) została dodana składowa stała. Nas interesuje tylko składowa zmienna–> goła sinusoida. Ma ona amplitudę 3.2 oraz przesunięcie fazowe φ=-90°. Wykres wskazowy opóźnionej o φ=90° sinusoidy nie wymaga komentarza.

Rozdz. 22.4.4.3 ω=0.63 1/sek (T=10 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/10_calkujacy_10.zcos
Obrazek jest taki sam co poprzednio, tylko jest mniejszy okres drgań generatora T=10 sek
Wciśnij „Start”
22-21
Rys. 22-21
Amplituda zmniejszyła się dwukrotnie, za to faza φ=-90° pozostała taka sama.

Rozdz. 22.4.4.4 ω=2.51 1/sek (T=5 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/11_calkujacy_5.zcos
Obrazek jest taki sam co poprzednio, tylko jest mniejszy okres drgań generatora T=5 sek
Wciśnij „Start”
22-22
Rys. 22-22
Amplituda zmniejszyła się dwukrotnie, φ=-90°.

Rozdz. 22.4.4.5 ω=2.51 1/sek (T=2.5 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/12_calkujacy_2.5.zcos
Obrazek jest taki sam co poprzednio, tylko jest mniejszy okres drgań generatora T=2.5 sek Wciśnij „Start”
22-23
Rys. 22-23
Amplituda zmniejszyła się dwukrotnie, φ=-90°.

Rozdz. 22.4.4.6 ω=2.51 1/sek (T=1.25 sek)
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/13_calkujacy_1.25.zcos
Obrazek jest taki sam co poprzednio tylko mniejszy okres drgań generatora T=1.25 sek
Wciśnij „Start”
22-24
Rys. 22-24
Amplituda zmniejszyła się dwukrotnie, φ=-90°

Rozdz. 22.4.4.7 Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego
Zróbmy z Rys. 22-20…Rys. 22-24 jeden wspólny rysunek
22-25
Rys. 22-25
Tym wspólnym jest Rys. 22-25a. Rys. 22-25b przedstawia zaś charakterystykę amplitudowo-fazową członu całkującego, bez strzałek i dla wszystkich 0<ω<∞. Dla ω=0 moduł wzmocnienie członu całkującego to K=∞ a dla ω=∞ to K=0.

Rozdz. 22.5 Kryterium Nyquista
Jak już wiemy czym jest charakterystyka amplitudowo-fazowa to samo Kryterium Nyquista jest małym pikusiem.
Będziemy badać 3 otwarte układy dynamiczne (jako otwarte są z natury stabilne! –>p. 22.1) które mają żółtą, zieloną i czerwoną charakterystykę amplitudowo-fazową przredstawione na Rys. 22-26.
Punkty na osi x (+7,0), (10.035,0) i (12,0) to liczniki tych transmitancji, inaczej wzmocnienia w stanie ustalonym. Z nich „startują” poszczególne charakterystyki z początkową pulsacją ω=0.
W pulsacjach ω1,ω2 i ω3 charakterystyki przechodzą przez oś x w punktach x (-1.2,0) , (-1,0) i (-0.7,0) . Sinusoidy mają tu przesunięcie fazowe φ=-180°.
Ponieważ są to człony trójinercyjne, to przechodzą one przez 3 ćwiartki i dla ω=∞ kończą w punkcie (0,0).
Wybiegnę trochę w przyszłość i od razu powiem, że poniższe charakterystyki odpowiadają trzem kolejno badanym w natępnym punkcie p.22.6 członom trójinercyjnym.
Na wykresie nie jest zachowana skala.
22-26
Rys. 22-26
Uwaga
Wszystkie 3 charakterystyki dotyczą układów otwartych które są stabilne. Napisy Stabilny, Na granicy, Niestabilny dotyczą stanu tych układów, ale po zamknięciu ich pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego.
1. Jeżeli charakterystyka nie obejmuje punktu (-1,0), to układ zamknięty będzie stabilny–>żółta charakterystyka.
2. Jeżeli charakterystyka przechodzi przez punkt (-1,0), to układ zamknięty będzie na granicy stabilności–>zielona charakterystyka.
3. Jeżeli charakterystyka obejmuje punkt (-1,0), to układ zamknięty będzie niestabilny–>czerwona charakterystyka.

Rozdz. 22.6 Sprawdzenie Kryterium Nyquista na 3 konkretnych przykładach
Rozdz. 22.6.1 Wstęp
Konkretnymi przykładami będą 3 człony trójinercyjne odpowiadające charakterystyce żółtej, zielonej, czerwonej z Rys. 22-26. Różnić je będzie tylko licznik transmitancji czyli wzmocnienie K=7, 10.035 i 12 . Wartości mianowników są identyczne.
Najpierw wyznaczymy w sposób maksymalnie uproszczony charakterystykę amplitudowo-fazowe danej transmitancji ( czyli żółtej, zielonej, czerwonej) w układzie otwartym. Potem zamkniemy je pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego i impulsem Diraca spróbujemy wytrącić układ ze stanu równowagi.

Rozdz. 22.6.2 „Żółty” który w układzie zamkniętym powinien być stabilny.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Teoretycznie należy wyznaczyć charakterystykę amplitudowo-fazową dla wszystkich pulsacji w zakresie ω=0…∞. W praktyce robi się to dla skończonej liczby pulsacji. Problem uprościmy jeszcze bardziej. Ograniczymy się tylko do pulsacji ω3, w której charakterystyka przetnie oś x w punkcie (-0.7,0). Pozostałe 2 punkty tj:
x=7, y=0 dla ω=0
x=0, y=0 dla ω=∞
są oczywiste. Mogą być wyznaczone tak samo jak człon inercyjny z p.22.3.
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/14_K7_3_inercyjny_sinus.zcos
22-27
Rys. 22-27
Wciśnij „Start”
22-28
Rys. 22-28
Dla pulsacji ω3=2*1/sek sinusoida wyjściowa w stanie ustalonym y(t) jest przesunięta w fazie o φ=-180°. Poza tym przyznam się bez bicia, że wcześniej szukałem metodą prób i błędów takiej pulsacji ω3, która daje opóźnienie fazowe φ=-180°.
Przy okazji – okres T=3.14=Π to czysty przypadek!
Sygnał wyjściowy y(t) jako sinusoida ustalił się na pewno po ok. 22 sek. Dopiero wtedy można mierzyć jej parametry tj. amplitudę, okres i fazę. W tym i 2 następnych eksperymentach sinusoida x(t) ma amplitudę 1. Dlatego amplituda y(t) jest też wzmocnieniem dla ω3=3.14. Czyli K(ω3)=-0.7. Znak minus wynika z fazy φ=-180°.
Oznacza to, że żółta charakterystyka przecina oś x dla ω3 w punkcie (-0.7,0). Nie obejmuje więc punktu (-1,0) i tak jest na Rys. 22-26.
Wniosek
Układ zamknięty powinien być stabilny.
Sprawdźmy.

Badanie stabilności układu zamkniętego
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/15__K7_sprzezenie_zwrotne.zcos
22-29
Rys. 22-29
Człon trójinercyjny z K=7 w układzie zamkniętym. Wejściem x(t) jest impuls Diraca
Wciśnij „Start”
22-30
Rys. 22-30
Impuls Diraca wytrącił układ ze stanu równowagi, ale po kilku oscylacjach system znowu wrócił do stanu y(t)=0. Czyli system jest stabilny. „Żólta” charakterystyka nie obejmuje punktu x=-1 tak jak na Rys. 22-26. Potwierdza to tezę nr 1 Kryterium Nyquista.

Rozdz. 22.6.3 „Zielony” który w układzie zamkniętym powinien być na granicy stabilności.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Ograniczymy się do do pulsacji ω2, w której zielona charakterystyka przecina oś x w punkcie (-1,0). Pozostałe 2 punkty dla ω=0 i ω=∞ są oczywiste. Okaże się, że ω2=ω3=2/sek. Jest to oczywiste, bo transmitancje te różnią się tylko wzmocnieniem K w liczniku. Uwaga ta dotyczy ω1 transmitancji „niestabilnej” z następnego podpunktu.
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/16_K10.035_3_inercyjny_sinus.zcos
22-31
Rys. 22-31
Wciśnij „Start”
22-32
Rys. 22-32
Dla pulsacji ω2=2 sinusoida wyjściowa w stanie ustalonym y(t) jest przesunięta w fazie o φ=-180° i jej amplituda jest równa wejściowej x(t). Czyli K(ω2)=-1. Mamy więc wyznaczone 3 ważne punkty zielonej charakterystyki dla ω=0, ω=ω2 i ω=∞ tak jak na Rys. 22-26.
Oznacza to, że zielona charakterystyka przecina oś x dla ω2 w punkcie (-1,0) tak jest na Rys. 22-26.
Wniosek
Układ zamknięty powinien być na granicy stabilności.
Sprawdźmy.

Badanie stabilności układu zamkniętego
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/17_K10.035_sprzezenie_zwrotne.zcos
22-33
Rys. 22-33
Człon trójinercyjny z K=10.035 w układzie zamkniętym. Wejściem x(t) jest impuls Diraca
Wciśnij „Start”
22-34
Rys. 22-34
Impuls Diraca wytrącił układ ze stanu równowagi i powstały drgania o stałej amplitudzie. Czyli układ jest na granicy stabilności.
Zielona charakterystyka układu otwartego z Rys. 22-26 przecina punkt (-1,0). Potwierdza to tezę nr 2 Kryterium Nyquista.

Rozdz. 22.6.4 „Czerwony” który w układzie zamkniętym powinien być niestabilny.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Ograniczymy się do do pulsacji ω1, w której charakterystyka przetnie oś x w punkcie x=-1.2 Pozostałe 2 punkty dla ω=0 i ω=∞ są oczywiste.
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/18_K12_3_inercyjny_sinus.zcos
22-35
Rys. 22-35
Wciśnij „Start”
22-36
Rys. 22-36
Dla pulsacji ω1=2 sinusoida wyjściowa w stanie ustalonym y(t) jest przesunięta w fazie o φ=-180° i jej amplituda to 1.2. Czyli K(ω3)=-1.2. Mamy więc wyznaczone 3 ważne punkty czerwonej charakterystyki dla ω=0, ω=ω1 i ω=∞ z Rys. 22-26.
Oznacza to, że czerwona charakterystyka przecina dla ω1 w punkcie (-1.2,0)x. Czyli obejmuje punkt (-1,0). I tak jest na Rys. 22-26.
Wniosek
Układ zamknięty powinien być niestabilny.
Sprawdźmy.

Badanie stabilności układu zamkniętego
Wywołaj PID/08_kryterium Nyquista/19_K12_sprzezenie_zwrotne.zcos
22-37
Rys. 22-37
Człon trójinercyjny z K=12 w układzie zamkniętym. Wejściem x(t) jest impuls Diraca
Wciśnij „Start”
22-38
Rys. 22-38
Impuls Diraca wytrącił układ ze stanu równowagi i powstały drgania o rosnącej amplitudzie. Czyli układ jest niestabilny. Czerwona charakterystyka układu otwartego z Rys. 22-26 obejmuje punkt (-1,0). Potwierdza to tezę nr 3 Kryterium Nyquista.

Rozdz. 22.7 Nyquist intuicyjnie
22.7.1 Wstęp
Nie wiem czy się uda, ale spróbuję. Otóż w kryterium Nyquista pojawia się bardzo charakterystyczny punkt (-1,0). Stabilność układu zamkniętego zależy od tego, jak przebiega charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego względem tego punktu.
W rozdziale 21 w p. 21.2 Dodatnie sprzężenie zwrotne było coś podobnego, a mianowicie:
Gdy wzmocnienie:
K<1 to układ zamknięty jest stabilny
K=1 to układ zamknięty jest „na granicy”
K>1 to układ zamknięty jest niestabilny
Wróć też na chwilę do rozdziału 21 p.21.2 Niestabilność członu opóźniającego ze sprzężeniem zwrotnym.
Trochę naciągając rzeczywistość stwierdziłem, że odpowiedzi na Diraca członu opóźniającego i trójinercyjnego są podobne, tylko w tym ostatnim odpowiedź jest bardziej „rozmyta”. Tu znowu wyszedł chyląc kapelusza jakiś uproszczony Nyquist.
Spróbuję więc wyjaśnić jak działa prawdziwe już Kryterium Nyquista dla 3 wcześniej badanych członów trójinercyjnych:
„Żółtego”
„Zielonego”
„Czerwonego”.

Rozdz. 22.7.2 Dlaczego „Żółty” to stabilny?
Dlaczego żółta charakterystyka układu otwartego z Rys. 22-26 omijająca punkt (-1,0) oznacza stabilność układu zamkniętego?
Układ otwarty dla pulsacji ω3=2*1/s wg. Rys. 22-28 ma wzmocnienie K=-0.7. Znak minus to przesunięcie fazowe.
Spójrz teraz na Rys. 22-29 gdzie zastosowano ujemne sprzężenie zwrotne.
Na wejście trójinercyjnego wchodzi y(t) z odwróconą fazą, bo po 3 sekundzie cały czas jest x(t)=0 i e(t)=x(t)-y(t)=-y(t)
Z kolei wiemy, że dla tej częstotliwości w stanie ustalonym ω=1.76*1/s–>Rys. 22-30, człon trójinercyjny prawie odwraca fazę. Prawie bo wg. Rys. 22-29 odwraca fazę dla wartości zbliżonej do ω3=2*1/s.
Faza jest więc 2 razy odwrócona, czyli w stanie ustalonym sinusoida y(t) jest w fazie z sygnałem na wejściu! Powstało coś podobnego do dodatniego sprzężenia zwrotnego o wzmocnieniu K=+0.7! Ponieważ K=+0.7<1 to sygnał sam się nie podtrzyma (tak jak w dodatnim sprzężeniu zwrotnym) i drgania zanikną. Układ zamknięty będzie więc stabilny.

Rozdz. 22.7.3 Dlaczego „zielony” jest na granicy stabilności?
Dla „Żółtego” uklad otwarty dla ω3=2*1/s miał K=-0.7. Analogicznie dla „Zielonego” uklad otwarty dla ω2=2*1/s miał K=-1 (Rys. 22-32)
Rozumując podobnie jak dla „Żółtego” dojdziemy do wniosku, że „pseudododatnie sprzężenie zwrotne” o wzmocnieniu K=+1 wywoła drgania o stałej amplitudzie. Drgania same się podtrzymają i układ zamknięty będzie na granicy stabilności.

Rozdz. 22.7.4 Dlaczego „czerwony” jest niestabilny
Wzmocnienie układu otwartego K=-1.2 (Rys. 22-36). Dlatego”pseudododatnie sprzężenie zwrotne” o wzmocnieniu K=+1.2>1 spowoduje drgania o narastającej amplitudzie. Układ zamknięty będzie niestabilny.

Rozdz. 22.8 Wyznaczanie charakterystyki amplitudowo-fazowej na podstawie znanej transmitancji G(s)
W p22.3 i 22.4 wyznaczaliśmy charakterystyki członów G(s) metodą doświadczalną podając na wejście sinusoidę x(ty) o amplitudzie 1 i mierząc amplitudę oraz fazę sinusoidy wyjściowej y(t). Robiliśmy to dla różnych pulsacji ω teoretycznie w przedziale 0…∞.
Nie była potrzebna żadna wiedza o liczbach zespolonych . Wystarczyła interpretacja sinusoidy jako wektora o odpowiedniej długości i kącie na płaszczyźnie x,y.
Od wektorów do liczb zespolonych jest bardzo blisko. Tak jak wektor ma współrzędne płaszczyźnie x,y, tak liczba zespolona ma współrzędne płaszczyźnie P, Q gdzie P jest osią skladowej rzeczywistej a Q składowej urojonej. Na liczbach zespolonych też się wykonuje operacje znane w „zwykłej” matematyce. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Są na to odpowiednie wzory i już. Tak że znając je, można wyznaczyć charakterystykę amplitudową-fazową danego G(s).
Należy pod s podstawić liczbę urojoną jω, gdzie ω to odpowiednia pulsacja i liczba zespolona G(jω) pokaże nam odpowiednią wartość dla pulsacji ω.
Przypominam, że G(s) jest ułamkiem dwóch wielomianów licznika L(s) i mianownika M(s). Do tego jest nam tylko potrzebna małpia zręczność wykonywania 4 podstawowych operacji matematycznych na liczbach zespolonych. Obliczona w ten sposób charakterystyka amplitudowo-fazową dla różnych pulsacji ω będzie wyglądała podobnie jak dotychczas:
22-39
Rys. 22-39
Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) obliczona z transmitancji G(s). G(jω) nazywa się transmitancją widmową. Zawiera w sobie taką samą informacje o właściwościach statycznych i dynamicznych obiektu jak transmitancją operatorowa G(s).

  • Rafał Klajnert

    Rozdz. 22.7.2
    „Faza jest więc 2 razy odwrócona.” – stwierdzenie wydaje mi się błędne(jeśli już to raz). Jeżeli tak by było to sygnał wyjściowy pokrywałby się z wejściowym, a tu się nie pokrywa tylko po prostu wygasa. Tekst pod Rys. 22-36 – powinno być „obejmuje”

    • Marek Gonet

      Panie Rafale
      Ad . „Tekst pod Rys. 22-36 – powinno być „obejmuje” ”
      Poprawiłem. Wniosek-trzeba uważać przy kopiowaniu tekstu

      Ad „Faza jest więc 2 razy odwrócona.”
      Tak sobie kombinuję. Mam układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym rys. 22-29. Na rysunku na wejściu jest x(t)=dirak ale zastąpię go np. x(t)=sinusoidą o pulsacji ω3 i o bardzo małej amplitudzie. Załóżmy że ta sinusoida trwa nieskończenie długo. Ona wraca na wejście z odwróconą fazą i taką samą pulsacją ale o zmniejszonej amplitudzie 0.7. Drugi raz faza będzie odwrócona bo e(t)=x(t)-y(t). Czyli ta sinusoida od y(t) pokrywa się z sinusoidą x(t) co Pan zresztą słusznie zauważył. Powstało więc coś w rodzaju dodatniego sprzężenia zwrotnego ale o wzmocnieniu k=0.71 drgania się podtrzymają „aż za bardzo”–>sinusoida będzie miała rosnącą amplitudę i układ będzie niestabilny

      Zdaję sobie sprawę z braku precyzji przy takim podejściu do Nyquista ale chodziło mi o intuicję. Jeżeli miałoby to spowodować zamęt u Czytelników to zastanowię się na skasowaniem p 22.7

      • Rafał Klajnert

        Ad „Faza jest więc 2 razy odwrócona.”
        Tak sobie kombinuję. Mam
        układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym rys. 22-29. Na rysunku na wejściu
        jest x(t)=dirak ale zastąpię go np. x(t)=sinusoidą o pulsacji ω3 i o
        bardzo małej amplitudzie. Załóżmy, że ta sinusoida trwa nieskończenie
        długo. – dotąd wszystko jasne
        ****************
        „Ona wraca na wejście z odwróconą fazą i taką samą pulsacją ale o
        zmniejszonej amplitudzie 0.7.” – no właśnie nie bardzo, bo ja zastąpiłem źródło na schemacie z rys. 22-29 sinusem o pulsacji 2 rad/s i wygląda na to, że jest inaczej. Mniemam, że pisząc to sugerował się Pan schematem z rys. 22-27 (bez sprzężenia zwrotnego). Trochę to wprowadza w błąd i już dalej nie mogę się połapać co Pan opisuje(może jestem „niekumaty”).
        *****************
        „Drugi raz faza będzie odwrócona bo
        e(t)=x(t)-y(t).” – drugi raz tzn. kiedy? Skoro w dalszym ciągu odnosi się Pan do schematu z rys. 22-27 to nie ma e(t).
        ***********************************************
        Czyli ta sinusoida od y(t) pokrywa się z sinusoidą
        x(t) co Pan zresztą słusznie zauważył. Powstało więc coś w rodzaju
        dodatniego sprzężenia zwrotnego ale o wzmocnieniu k=0.7<1. Drgania
        się nie podtrzymają. – tu już kompletnie się pogubiłem.
        ****************************************
        Może wystarczy, żeby właśnie postarać się o precyzję/trochę lepszy opis tego punktu i nie trzeba będzie wtedy usuwać. Mogę się wydawać czepialski i to zrozumiem, lecz niestety w tym przypadku nie jestem w stanie podejść do tematu wykorzystując intuicję.
        Poza tym do tej pory uważam, ten kurs za kawał dobrej roboty. Dużo lepsze podejście do tematu niż na studiach.