Artykuł z serii: Kurs regulacji PID - Wirtualne Laboratorium
Rozdz. 7
Rozdz. 7.1 Wstęp
Jest to najprostszy człon dynamiczny poza Proporcjonalnym. Odpowiedź na skok jednostkowy nie jest już natychmiastowa. Możesz nie znać jeszcze pojęcia transmitancji G(s), ale po zakończeniu tego rozdziału będziesz kojarzył jej parametry z przebiegami czasowymi. Do traktowania transmitancji G(s) jako pewnego rodzaju wzmocnienia, nie jest potrzebny rachunek różniczkowy lub operatorowy. Może to było zbyt mocno powiedziane. Lepiej byłoby tak. Znajomość matematyki wyższej nie jest absolutnie konieczna do czucia automatyki , za to bardzo pomocna.
Rys. 7-1
Człon Inercyjny o parametrach:
–K – wzmocnienie w stanie ustalonym
–T – stała czasowa
Wykonamy teraz kilka doświadczeń z różnymi sygnałami wejściowymi. Wyjście będzie obserwowane na oscyloskopie lub bargrafie.
Rozdz. 7.2 T=5 sek, skok x(t) z suwaka, y(t) na bargraf
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/01_inercyjny_suwak_bargraf.zcos
Rys. 7-2
Rysunek różni się od Rys. 6-8 z poprzedniego rozdziału tylko tym, że zamiast członu Proporcjonalnego jest Inercyjny.
W nawiązaniu do Rys. 7-1 parametry są następujące:
K=1 wzmocnienie w stanie ustalonym–>gdy sygnał y(t) „uspokoi” się to y(t)=1*x(t)
T=5 sek-stała czasowa T–> Uwaga sekunda tylko przypadkowo kojarzy się z literką s przy stałej czasowej T.
Wciśnij „Start” (tak jak robiłeś dla Proporcjonalnego)
Rys. 7-3
Po wciśnięciu przycisku „start” pojawiły się okna suwaka i bargrafu na tle maksymalnie otwartego okna schematu. Okna Scilaba nie widzisz bo zasłania go schemat. Uporządkuj je tak, żeby suwak i bargraf nie zasłaniały schematu, zwłaszcza mierników cyfrowych.
Przesuń „błyskawicznie” suwak z 0 na 1. W ten sposób podajesz na wejście skok jednostkowy! Zobaczysz jak zmienia się bargraf. Tym razem odpowiedź nie jest natychmiastowa, lecz z tzw. inercją. Tu przydadzą się mierniki cyfrowe . Poczekaj aż wystąpi stan ustalony tzn. będzie y(t)=x(t). Zobaczysz jak y(t) coraz wolniej dochodzi do stanu y(t)=x(t)=1.000.
Potem niezbyt intensywnie „pomachaj” suwakiem dając inny przebieg, niż skok jednostkowy. Zauważysz „wygładzający” wpływ członu inercyjnego. Pobaw się jeszcze trochę i kliknij czerwony przycisk „zakończ eksperyment”. Kolor przycisku zmieni się na szary i to oznacza gotowość do następnego eksperymentu.
Uwaga
Przed uruchomieniem ponownej symulacji przyciskiem start, powinny być otwarte tylko 3 okna:
– Scilab
– Xcos ze schematem czyli „01_proporcjonalny_bargraf…”
-„goły” Xcos czyli „Bez tytułu…”
Pozostałe okna pozamykaj.
Rób tak zawsze, to Scilab będzie działał jednoznacznie.
Sprawdź jakie okna są aktualnie otwarte i ewentualnie pozamykaj niepotrzebne. W tym celu najedź myszą na ikonkę Scilaba na pasku zadań.
Rys. 7-4
A co będzie gdy zwiększymy stałą czasową na T=10 sek? Przy okazji nauczysz się majstrować przy bloku transmitancji.
Rozdz. 7.3 T=10 sek, skok x(t) z suwaka, y(t) na bargraf
Nie wywołujemy nowego schematu tylko zmodyfikujemy jego transmitancję po zakończeniu poprzedniego eksperymentu.
Najedź myszą na transmitancję i zmień jej mianownik z 1+5*s na 1+10*s.
Rys. 7-5
Po zatwierdzeniu wciśnij „start” i znowu pobaw się suwakiem.
Rys. 7-6
Stała czasowa jest teraz 2 razy większa. Dlatego transmitancja G(s) jest 2 razy bardziej ociężała. Przy skoku x(t) prędkość narastania y(t) jest największa na początku. Potem stopniowo maleje do zera. Wtedy y(t) jest maksymalne i ustalone. Mówiąc uczenie – nie rusza się.
Nie zapominaj o obserwacji mierników cyfrowych. Tu dokładniej widać dochodzenie do stanu ustalonego y(t)=1.000 niż na bargrafie.
Zamknij Xcos-a nie zapisując go. Wtedy przy ponownym czytaniu p. 7.2 stała czasowa będzie T=5 sek a nie T=10 sek.
Rozdz. 7.4 T=5 sek,”skoki +1 -1″ x(t) z suwaka, y(t) na oscyloskop
Zbadamy reakcję na 2 kolejne skoki „+1,-1” sygnału x(t).
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/02_inercyjny_suwak_oscyloskop.zcos
Rys. 7-7
Schemat różni się od poprzedniego tylko oscyloskopem zamiast bargrafu. Blok „zerowy” kreśli na oscyloskopie oś zerową. Będzie występował w wielu następnych schematach.
Na wspólnym wykresie będą rejestrowane sygnały x(t) i y(t). Sygnał x(t) pochodzi z suwaka.
Wciśnij „start”
Rys. 7-8
Do 10 sekundy y(t)=0 bo byłem zajęty rozmieszczaniem okien suwaka i oscyloskopu. W 10 sekundzie szybko przesunąłem suwak do góry realizując w ten sposób skok jednostkowy x(t)=+1. Poczekałem, aż sygnał wyjściowy osiągnie stan ustalony y(t)=x(t)=+1 i w okolicach 50 sekundy ustawiłem suwakiem x(t)=-1. Całą ta historia została zarejestrowana na oscyloskopie. Eksperyment zakończy się sam w 60 sekundzie. Zamknij windowsowym krzyżykiem okno oscyloskopu . Jesteśmy teraz gotowi do następnego eksperymentu. Dla świętego spokoju sprawdź, czy są otwarte tylko 3 okna Scilab, Xcos ze schematem, „goły” Xcos.
Rozdz. 7.5 T=5 sek, sygnał x(t) z suwaka, y(t) na oscyloskop
Wciśnij „start” i pomamachaj z przerwami czasowymi suwakiem.
Rys. 7-9
Widzisz ‚wygładzający” efekt członu Inercyjnego. Jest to najprostszy poza Proporcjonalnym człon dynamiczny. W spadku po Proporcjonalnym pozostały mu „czubki” przy skokowych zmianach sygnału x(t). Takie ma jeszcze człon Całkujący, Opóźniając i Różniczkujący. Pozostałe człony dynamiczne dwuinercyjne, oscylacyjne itd… „czubków” nie mają . Przekonasz się tym później.
Rozdz. 7.6 T=5 sek,skok x(t) z generatora, y(t) na oscyloskop
Skok jednostkowy z generatora da nam bardziej precyzyjny sygnał wejściowy x(t) niż ręczny z suwaka.
Wywołaj schemat Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/03_inercyjny_skok_oscyloskop.zcos
Rys. 7-10
Generator skoku został zaprogramowany na skok od 0 do +1 w 3 sekundzie . Skok trwa teoretycznie nieskończenie długo a praktycznie do końca doświadczenia, czyli do 45 sekundy.
Wciśnij „start”
Rys. 7-11
Sygnał wejściowy x(t) jest skokiem , który wystąpił w 3 sekundzie.
Sygnał wyjściowy y(t) ma największą prędkość wzrostu na początku skoku. Potem rośnie, ale z malejącą prędkością. W stanie ustalonym osiąga wartość y(t)=x(t)=1.
Na przebiegu dobrze widać, co jest czym w transmitancji G(s) na Rys. 7-10 .
1 w liczniku transmitancji G(s) to wzmocnienie K w stanie ustalonym.
5 w mianowniku transmitancji to stała czasowa T=5 sekund.
Jest to czas, po którym nastąpiłby stan ustalony y(t)=1, gdyby prędkość wzrostu była cały czas taka sama jak na początku. Sygnał wzrastałby wtedy tak jak styczna – szara linia. Stan y(t)=x(t)=1 zostałby osiągnięty po czasie T=5sek.
Rozdz. 7.7 Porównanie dwóch różnych członów inercyjnych
Wywołaj schemat Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/04_porownanie_2_inercyjnych.zcos
Rys. 7-12
Na wejścia dwóch członów inercyjnych, w których parametry 3 i 7 są „pozamieniane” podawany jest skok jednostkowy x(t).
Spróbuj przewidzieć odpowiedzi y1(t) i y2(t)
Rys. 7-13
Przewidziałeś? Jeśli nie za bardzo, to proponuję powtórzyć rozdział.
Rozdz. 7.8 T=1 sek, x(t) impulsem Diraca, y(t) na oscyloskop
Do tej pory poznaliśmy bardzo typowy w automatyce sygnał wejściowy–> skok jednostkowy x(t)=1(t).
Innym używanym sygnałem jest tzw. Impuls Diraca–> x(t) = δ(t). Jego cechą charakterystyczną jest to, że trwa nieskończenie krótko ale ma nieskończenie dużą wartość. Za to energia tego impulsu czyli pole impulsu równe jest jedności czyli jest skończona.
Przybliżeniem może być np elektrownia, która zasila czajnik elektryczny całą swoją mocą (np. 360 MW), ale przez bardzo krótki czas. Woda w czajniku zagrzeje się do +100°C bo w ciągu kilku nanosekund,zostanie dostarczona skończona energia ( i to wcale nieduża!), a czajnik nie ulegnie zniszczeniu!
Dla nas czajnik zagrzał się natychmiast! Myślimy, że mamy do czynienia z Idealnym Impulsem Diraca.
Mechanicznym przykładem impulsu Diraca jest uderzenie młotkiem. Trwa też bardzo krótko i w tym czasie zostanie wykonana skończona praca polegająca na wbiciu gwoździa.
Wniosek W przyrodzie nie ma idealnych Impulsów Diraca Są tylko jego rzeczywiste przybliżenia.
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/05_inercyjny_dirac_oscyloskop.zcos
Rys. 7-14
Pole impulsu Diraca=1
Wciśnij „start”
Rys. 7-15
Wyjście y(t) wzrośnie bardzo szybko, ale nie natychmiast!. Stanem końcowym jest y(t)=0. Tak reaguje na Diraca, większość tzw. członów statycznych. Tj. takich których dla których odpowiedź y(t) w stanie ustalonym na skok jednostkowy dąży do stałej wartości, a nie do nieskończoności. Poruszymy jeszcze ten temat.
Rozdz. 7.9 T=1 sek, x(t) „lepszym” impulsem Diraca, y(t) na oscyloskop
Poprzedni Dirac o amplitudzie 10 trwał 0.1 sekundy. Skoro nie jesteśmy w stanie dać idealnego Diraca, to dajmy chociaż coś bardziej zbliżonego do ideału. Tzn. Impuls o amplitudzie 100 który będzie trwał 0.01 sek. Zauważ, że jego energia, czyli pole impulsu też wynosi 1.
Wywołaj schemat Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/06_inercyjny_idealniejszy_dirac_oscyloskop.zcos
Wywołasz schemat który wizualnie jest taki sam jak Rys. 7-14. Różnica jest tylko w impulsie. Amplituda=100, czas trwania=0.01 sek.
Wciśnij „start”
Rys. 7-16
Wygląda to właściwie na idealny Impuls Diraca! Nastąpił natychmiastowy skok y(t) z 0 na +1. Poza tym x(t) wygląda jak prawdziwa szpilka. Tak jednak nie jest bo:
– wysokość szpili =+100 a nie nieskończoność. Widzisz tylko +10, resztę ucina oscyloskop
– szerokość szpili to 0.01 sek a nie 0.
– skok y(t) w 3 sekundzie,wyglądający na natychmiastowy, wcale takim nie jest. Krótko bo krótko, ale narasta on jednak przez pewien czas. Podobnie jak na Rys. 7-15. A to, że wygląda jak idealny, to tylko niedoskonałość oscyloskopu.
Rozdz. 7.10 Po co nam te Diraki?
Zwłaszcza, że skok jednostkowy jest technicznie łatwiejszy do realizacji niż szpila Diraca. W skoku wystarczy podać maksymalną moc na wejście np. 100 kW. W prawie idealnym Diraku to już jest Bełchatów 4000 MW przez kilka nanosekund. Są techniczne sposoby podania krótkiego impulsu o dużej mocy bez użycia elektrowni, np. zasilacze do laserów, stacje radiolokacyjnych… Ale to już nie jest prościzna.
No właśnie. Po co ten Dirac. Wybiegnę trochę do przodu. Okaże się, że transmitancja G(s) jest po prostu przekształceniem Laplace’a odpowiedzi y(t) na impuls Diraca. Na razie tylko tyle. Transmitancjom G(s), transformatom Laplace’a będzie poświęcony specjalny rozdział.
Rozdz. 7.11 Co zrobić gdy transmitancja jest typu G1(s) na poniższym schemacie?
Wywołaj Pulpit/PID/01_podstawowe_człony_dynamiczne/02_człon_inercyjny/07_rozne_postacie_tych_samych_czlonow.zcos
Rys. 7-17
G1(s) też jest członem Inercyjnym. Ale nie widać w nim bezpośrednio K i T. Aby zobaczyć zrób tak, żeby w mianowniku było 1+…. Czyli podziel licznik i mianownik przez 7. Otrzymasz G2(s). Są to oczywiście te same ułamki G1(s)=G2(s). Ale w G2(s) widzisz już K=2 i T=3 sek. Sprawdźmy.
Wciśnij „start”
Rys. 7-18
Z przebiegów też wynika:
– G1(s)=G2(s)
– K=2
– T=3 sek
Rozdz. 7.11 Typowe człony inercyjne?
Układ RC
Zaczniemy od przykładu elektrycznego-układu RC. Gdy na wejście podam skok napięcia x(t), to na wyjściu pojawi się napięcie y(t) o takim przebiegu
Rys. 7-19
Jest to człon Inercyjny o parametrach k i T k=1 bo w stanie ustalonym y(t) = x(t) Gdy np. R = 100 kΩ i C =10 µF to T = R*C = 100 000 Ω * 10*0,000001F = 1 sekunda
Silnik prądu stałego
Jeżeli na wejście podam skokowo napięcie stałe, to jego rozruch w przybliżeniu jest typowy dla członu inercyjnego. Wejściem jest napięcie a wyjściem prędkość obrotowa. Początkowo prędkość jest zerowa , potem cały czas rośnie, z tym że przyrosty prędkości stają się coraz mniejsze. W końcu osiągnie wartość maksymalną, zależną oczywiście od napięcia wejściowego i parametrów elektro-mechanicznych. Stała czasowa też zależy od tych parametrów- głównie od bezwładności mechanicznej, rezystancji i indukcyjności. Stop! I tak już za daleko weszliśmy w szczegóły.
Wanna z wyjętym korkiem
Wejściem jest „natychmiastowe” otwarcie kranu (czyli pośrednio przepływ)
Wyjściem poziom wody
Na początku poziom jest niski. Czyli ciśnienie i odpływ też są niskie. Dopływ jest większy od odpływu i poziom rośnie. Będzie on jednak narastał coraz wolniej ponieważ ze zwiększającym się poziomem odpływ rośnie (większe ciśnienie). Po pewnym czasie gdy dopływ równy jest odpływowi, poziom ustali się.
Gdyby dokładniej rozpatrzyć równanie różniczkowe tego zjawiska, to odpływ oczywiście rośnie wraz z wysokością, ale nie proporcjonalnie do poziomu lecz do pierwiastka z poziomu. Przy małych poziomach można jednak założyć proporcjonalność i wtedy jest to już klasyczny człon Inercyjny.
Rozdz. 7.12 Podsumowanie
Tak jak człon Proporcjonalny jest pierwszym przybliżeniem prawie każdego członu dynamicznego, tak Inercyjny jest drugim, czyli już dokładniejszym przybliżeniem. Przecież prawie* każdy człon w odpowiedzi na skok po pewnym czasie osiągnie jakąś stałą wartość! Założymy wtedy, że jest to człon inercyjny o wzmocnieniu wynikającym ze stanu ustalonego, i stałej czasowej 4…5 razy mniejszej niż czas ustalenia się sygnału. Będzie to oczywiście przybliżenie kiepskie, ale lepsze to niż przybliżenie członem proporcjonalnym
*prawie– bo nie dotyczy np. członu Całkującego.
